2012-04-25
Dostęp do
wpisu:
Publiczny
| Zagadka matematyczna (czytano: 751 razy)
Kilka lat temu zimą zacząłem biegać po gdyńskim bulwarze. Spotykałem wtedy tam czasem znajomych, między innymi Agnieszkę (Aga_mtb).
Ułożyłem wtedy, a raczej życie ułożyło zagadkę matematyczną. Przez pewien czas wisiała u mnie na blogu, ale zrobiłem jakiś czas temu jego upgrade i szlag ją trafił.
Zagadka brzmiała (mniej więcej) tak:
Bulwar ma 1,5km długości, od jednych ryb do drugich. Artur przybiega od strony ulicy Piłsudskiego, jest to 1km od dużych ryb, 500 metrów od małych. Agnieszka przybiega na bulwar przy małych rybach.
Agnieszka zaczyna biec bulwarem w stronę duzych ryb, biegnie całą długośc bulwaru, potem zawraca. Robi cztery takie okrążenia (12km) po czym wraca do domu.
Artur wbiega na bulwar. Nie wie czy Agnieszka już robi swój trening czy też nie. Może zacząć biec w prawo lub w lewo.
Pytanie brzmiało tak:
Czy któryś z kierunków jest wyróżniony ? To znaczy czy ma znaczenie w którą stronę Artur zacznie biec, oczywiście przy założeniu że czas spotkania się biegaczy jest istotny (przy czym nie ma znaczenia czy ma być maksymalny czy minimalny, czy Artur chce uniknąć spotkania z Agnieszką czy wręcz przeciwnie, sytuacje są symetryczne) ?
Rozwiązałem wówczas to zadanie, wyszło mi że żaden kierunek nie jest wyróżniony. Czy biegacz 1 skręci w prawo (w stronę pierwszego zakrętu oddalonego o 500 metrów) czy w stronę drugiej nawrotki (oddalonej o 1000 metrów) - jeżeli nie wie gdzie znajduje się biegacz 2 to nie jest w stanie zmaksymalizować szansy spotkania poprzez wybór kierunku.
Wczoraj podczas treningu przypomniało mi się to zadanie. Zacząłem się zastanawiać - a co będzie jeżeli biegacz 1 się rozejrzy, w prawo, w lewo i wtedy podejmie decyzję ? W prawo można rozpoznać sylwetkę (mniej więcej) na jakieś 100 - 150 metrów, w lewo nieco więcej, gdzieś 200, może 300. To zależy gdzie się stanie (w prawo widok przesłania Barracuda, w lewo jest lekkie zakrzywienie).
Oczywiście kolejnym krokiem myślowym była zmiana odległości widzenia.
A zatem:
Bulwar ma długość B. Punkt wbiegu pierwszego biegacza (nazwę go z angielska runnerem, żeby się literka nie mieszała z biegaczem - R1) jest w 2/3. Odległość w jedną stronę B1. Odległość w drugą B2. Zasięg wzroku w jedną stronę - W1. Zasięg wzroku w drugą - W2. Zakładamy że W1 może być rózne od W2 i przyjmować wartości od zera do maksymalnej (czyli 0 < W1 < B1 oraz 0< W2 < B2, rzecz jasna dla Wx = Bx zagadnienie jest trywialne, dla równego zero jest de facto poprzednim zadaniem). Prędkość biegaczy jest stała (zakładamy że robią bieg ciągły, żadnych interwałów, fartleków itp): odpowiednio vR1 oraz vR2.
Pytania:
(a) Jeżeli punkt wbiegu drugiego biegacza (R2) jest nieokreślony (może wbiec na bulwar w dowolnym miejscu, załóżmy że jest to możliwe) to czy ma on (ten punkt wbiegu) znaczenie ?
Innymi słowy, czy biegacz 2 może poprzez wybór swojej strategii biegu zmaksymalizować szansę spotkania (lub uniknięcia spotkania) ?
(b) Czy to jak daleko sięga wzrok w obie strony ma jakiekolwiek znaczenie ? Jeżeli tak - to jakie ?
Zakładamy że biegacze nie mają ze sobą komórek, nie mogą sie porozumiec w trakcie treningu, nie mogą określić dokładnie momentu startu treningu, natomiast możemy - jeżeli chcemy - rozważyć możliwość wstępnego dogadania się gdzie startuje biegacz R2 oraz w którą stronę ruszy biegacz R1.
No i rzecz jasna zakładamy że biegacze pojawili się na bulwarze w celu treningowym, nie towarzyskim, to znaczy i jeden i drugi biegnie do końca trasy, do nawrotu.
Blog moga komentować wszyscy zalogowani czytelnicyDodaj komentarz do wpisu
tdrapella (2012-04-25,12:02): Hehehe, nie ma to jak inżynierskie podejscie do tematu :) A uwzględniasz fakt, że Aga może założyć raz żarówiastą koszulkę, a drugi raz czarną? Hmm chyba tak bo z tego co rozumiem Wx nie zawsze mysi się równać Wx innego dnia. Dalsze rozważanie do przemyślenia. wpływ instynktu. Czy Aga będąc biegaczem R2 ma takie same szanse na spotkanie z tobą jako biegaczem R1 jak w przypadku odwrotnym? :)
amd (2012-04-25,12:12): Tomek, Agnieszka z Michałem przeprowadzili się dwa czy trzy lata temu do Redy. Z tego co wiem ona biega po tamtych okolicach, więc nowa zagadka już jej nie dotyczy :)
Wx i Wy być może są różne za każdym razem - właśnie to mnie teraz zaciekawiło.
dotas (2012-04-25,12:13): Ciekawe masz przemyslenia w trakcie biegania ;) Co do do rozwiązania oryginalnej zagadki to moim zdaniem mamy kierunek wyrózniony :)
A do aktualnej zagadki - jak jest z punktem zbiegu? czy jest równy punktowi wbiegu?
amd (2012-04-25,12:50): I gadaj tu z matematyczkami ... Ok, Dorota, masz rację. Jeżeli prędkość biegacza 1 jest większa od prędkości biegacza 2 to mamy kierunek wyróżniony, prawo, ponieważ może się zdarzyć że biegacz 2 kończy swój trening, a wtedy tylko biegnąc w prawo biegacz 1 ma szanse dogonić (czyli spotkać) biegacza 2. A co by było gdybyśmy nie wiedzieli z którego końca bulwaru biegacz 1 rozpoczyna swój trening ? Czy wówczas żaden kierunek nie byłby wyróżniony ? Czy też wtedy wyróżniony byłby kierunek w lewo - ze względu na to że jest dłuższy i istniałaby większa (=dłuższa) szansa dogonienia biegacza 1 ?
amd (2012-04-25,12:52): Co do aktualnej zagadki i punktów zbiegu - nie, chcę uniknąć tej sytuacji że o wyniku decydują "warunki brzegowe". Zakładamy wariant taki że i jeden i drugi biegacz kontynuują trening (biegają w kółko) tak długo aż się spotkają.
mamusiajakubaijasia (2012-04-25,20:39): No, ja Cię uwielbiam jednak w tym Twoim pisaniu:) Bezwzględnie!
Gulunek (2012-04-26,07:39): Łeeeee za trudne... lepiej się w kontraście na kawie spotkać :)
Tr (2012-04-26,10:22): W sumie to mnie najbardziej intrygują te duże i małe ryby..
dotas (2012-04-26,16:44): Bez przeliczeń a więz z dużą dozą intuicji według mnie powinien skręcić w dłuższy odcinek z uwagi na prawdopodobieństwo. Statystycznie częściej B2 spotka B1 na dłuższym odcinku. Jeśli optymalizujemy czas spotkania to wydaje się, że wartość oczekiwana jest taka dla obu kierunków, a więc w tym wypadku żaden nie jest wyróżniony. Dodoatkowo jeśli uwzględniamy W1 i W2 (i tu też tylko rozumowanie bez wyliczeń) to wybieram kierunek dla którego mam mniejszą widoczność :) jestem ciekawa co wyjdzie z obliczeń :) dzięki za zadanie - sprawiło mi przyjemność :)
|
